卢衬云
摘 要：本文就一道几何题的多种解法进行探究，在同样条件下运用不同的知识，设计出不同的解法，从而培养学生的创新思维。
关键词：一题多解;探究;创新思维
解题方法是一个利用已有的知识和经验将末知问题已知化，即按照熟悉化原则进行探究，从而作出解答的过程。一题多解能使学生善于抓住问题的广泛范围，多侧面、多角度考虑问题，在同样条件下运用不同的知识，设计出不同的解法，从而培养学生的创新思维。
创新是有层次的。对中学生来说，独立发现或获取新知识、新方法、新思路、新见解、新组合、新用法等，都是一种创新。因此，我们可以通过教育来培养和发展的。下面就一道几何题的多种解法进行探究，为学生开拓探究的空间和广阔的舞台，从而培养学生的创新思维。
一、新思路、新见解——点燃学生的创新意识
例：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点。求证：CE⊥BE.
解法一：利用勾股定理和勾股定理逆定理
证明：如图（1），过点C作CF⊥AB，垂足为F
∵ 在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°
∴ ∠D=∠A=∠CFA=90°
∴四边形AFCD是矩形
∴AD=CF， BF=AB-AF=1
在Rt△BCF中，CF2=BC2-BF2=8
∴ CF=2 2 ∴ AD=CF=2 2
∵ E是AD中点
∴ DE=AE= AD= 2
在Rt△ABE和 Rt△DEC中
EB2=AE2+AB2=6
EC2= DE2+CD2=3
EB2+ EC2=9=BC2
∴ ∠CEB=90°∴ EB⊥EC
解法二：利用梯形的中位线性质和三角形内角和定理
证明：
如图（2），在BC上找中点F，连结EF
∵ 在梯形ABCD中，E、F分别是DA、CB的中点
∴EF= （DC+AB）= （1+2）=1.5
∵F是CB的中点 ∴CF=FB= CB=1.5
∴EF=CF=FB∴∠CEF=∠ECF，∠FEB=∠CBE
∵∠CEF+∠ECF+∠FEB+∠CBE=180°
∴2∠CEF+2∠FEB=180°
∴∠CEF+∠FEB=90°∴ EB⊥EC
或：过点E作EF∥DC，交CB于点F， 利用平行线分线段成比例定理证点F是CB的中点（证法略）
二、新知识、新方法——激发学生的创新潜能
例：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点. 求证：CE⊥BE.
解法三：利用割补法或旋转法构造等腰三角形
证明：
如图（3），延长CE、BA交点F
∵ 在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°
∴ ∠D=∠EAF=90°， ∠DCE=∠F
∵ E是AD中點∴ DE=AE= AD
∴△CDE≌△FAE∴AF=DC=1，FE=EC
∴BF=BA+AF=3
在△CBF中，BC=BF=3，FE=EC∴EB⊥EC
或：
将△CDE绕点E顺时针旋转90°与△FAE重合，得到△CDE≌△FAE（证法略）
三、新组合、新用法——培养学生的创新能力
例：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点. 求证：CE⊥BE.
解法四：利用勾股定理和相似三角形的性质
证明：
如图（4），过点C作CF⊥AB，垂足为F
∵ 在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°
∴ ∠D=∠A=∠CFA=90°
∴四边形AFCD是矩形
∴AD=CF， BF=AB-AF=1
在Rt△BCF中，
CF2=BC2-BF2=8
∴ CF=2 2
∴ AD=CF=2 2
∵ E是AD中点 ∴ DE=AE= AD= 2
∵ = = ， =
∴ =
∵∠D=∠A=90°
∴△CDE∽△EAB
∴∠DEC=∠EBA
∵∠EBA+∠AEB=90°
∴∠DEC+∠AEB=90°
∴∠CEB=180°- 90°=90°
∴EB⊥EC
解法五：利用勾股定理和锐角三角函数
证明：
如图（5），过点C作CF⊥AB，垂足为F
∵ 在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°
∴ ∠D=∠A=∠CFA=90°
∴四边形AFCD是矩形
∴AD=CF， BF=AB-AF=1
在Rt△BCF中，CF2=BC2-BF2=8
∴ CF=2 2
∴ AD=CF=2 2
∵ E是AD中点
∴ DE=AE= AD= 2
在Rt△DCE中，
tan∠CED= = =
在Rt△DCE中，tan∠DCE= =
∴∠CED=∠EBA
∵∠EBA+∠AEB=90°
∴∠CED+∠AEB=90°
∴∠CEB=180°- 90°=90°
∴EB⊥EC
通过对一道几何题的多种解法进行探究，使学生学到的不仅是一道题的解法，而是学习了一类问题的思维方法和解决问题的知识，有益于提高学生学习的主动性及分析问题解决问题的能力，从而拓宽了学生的思维领域。
笛卡说过“数学是使人变聪明的一门学科”。在这方面，苏霍姆林斯基在总结一生的工作时说：“我在学校工作了近35年，直到20年前我才明白，在课堂上要做的两件事：其一要教给学生一定的知识;其二要使学生变得聪明”。说明了学生的学习目的在于学会怎样科学地思维，掌握科学思维方法。因此，在教学上我们要注重发挥习题的功能，让学生在解题过程中，捕捉有用的信息进行思考，寻觅旧有原题的解题方法，再探求新问题的解法，形成解决问题的新方法，最大限度地开发学生的创新思维。同时，作为教师要及时给予肯定鼓励，使学生感到学无止境，不断向高处攀登。这正是陶行知先生早就盼望的：处处是创造之地，天天是创造之时，人人是创造之人。
参考文献：
[1] 王培德 .数学思想应用及探究—建构建构教学[M]. 人民教育出版社，2008，8
[2] 黄为.让数学课堂充满生命的活力—谈数学思维能力的培养[J].中学数学研究，2010，4.
（作者單位：东莞市万江区万江第二中学，广东 东莞 523049）
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