王德贵
中国古代数学巨著《九章算术》是张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著。其内容十分丰富，总结了战国、秦、汉时期的数学成就。是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系。其中有一道题是“五家共井”问题，原文如下：
五家共井，甲二绠不足，如乙一绠;乙三绠不足，如丙一绠;丙四绠不足，如丁一绠;丁五绠不足，如戊一绠;戊六绠不足，如甲一绠，皆及。
这道题的白话解释是：五家合用一口井，甲家的2根井绳和乙家1根井绳总长为井深;乙家的3根井绳和丙家的1根井绳总长为井深;丙家的4根井绳和丁家1根井绳总长为井深;丁家的5根井绳和戊家1根井绳总长为井深;戊家的6根井绳和甲家1根井绳总长为井深。问：井深、各家井绳各多少？（每家的井绳均等长）
下面我们也来分析一下“五家共井”问题，并用Python、图形化和APPInventor分别求解。
在教授学生学习Python四级课程时，合用的练习和案例并不多，于是在搜索案例过程中，看到了这个“五家共井”问题，经过研究发现比较适合用Python四级的知识点来解决，现分享出来。
这是一个不定方程问题。遇到方程最初的想法还是用枚举法，在100范围内运行后，无果。说明最小正整数解，一定比100大，于是擴大范围到300，结果运行很久也没有输出结果，看来运算时间过长了，没有能等到程序运行出结果。
于是想到库函数sympy，它是一个符号计算的Python库。我在文章《阿基米德群牛问题的分析及Python验证》里讲过，这里不再赘述。
通过解方程，得到关系式，从而求出最小正整数解。
在使用Python求解过程中，想试着再用Scratch和APPInventor求解，通过编程，运行，在对比三种代码之后很有启发，下面把求解过程分享给大家。
1.枚举法
这是一种最直接的思路，不知道具体结果，那就用枚举法测试（图1）。根据题意，设甲、乙、丙、丁、戊五根绳子分别长a、b、c、d、e，井深2a+b，5个未知数的满足方程2a+b=3b+c=4c+d=5d+e=6e+a，将1到100分别代入进行试算。
由于运行时间较长，运行时将消耗时间打印出来了，此时显示的是运行了a取值1到10的运行时间222秒（图2）。
2.时间复杂度
如果取值范围在100以内，则时间复杂度是10的10次方，按运行时间算，运行了10个a将近4分钟，那运行100个a，需要的时间就大约是40分钟（图3）。
当a的取值在300以内时，运行1个a需要的时间将近30分钟，那300个a就是近150个小时，需要6天多的时间（图4）。
这样长的运行时间程序完全无法实用，必须通过缩减无效运算来优化程序。改为将最短的绳子e作为枚举的主要参数，根据题目分析我们也能提前知道各未知数的大小关系，将d的试算起始数量从1改为从e开始，其他几个未知数以此类推。根据网络搜索答案，我已经知道e的最小正整数解小于100，b小于300。新增了变量bj=1用来判断，当获得答案后立刻跳出循环。等待一段时间能够获得答案（图5）。
运行10个e的时间将近是6分钟，随e值增大，单次运算时间还会缩短。优化后，运行时间大大缩短了，只需25分钟左右，已经获得了一组结果（图6）。
我们根据已有答案回推优化程序，最终获得了结果。但是如果我们不知道答案的范围，即使只在300范围内试算，运行也要6个小时左右。枚举法在面对这样一个不定方程的情况时，如果不知道结果的范围，那么运行时间就会非常长！必须去寻找更简捷的算法。
3.方程解法的程序设计
（1）利用sympy库函数先求出不定方程的关系式（图7）。
运行结果如图8：
因为绳长是整数，所以e一定是76的倍数，因此可以求出最小正整数解：甲：265，乙：191，丙：148，丁：129，戊：76;井深：721。
即甲家井绳长265，乙家井绳长191，丙家井绳长148，丁家井绳长129，戊家井绳长76，井深721。
1.基本思想还是枚举，利用附加条件循环。
2.程序说明
要注意的是，几个条件都应该是“与”的关系，4个条件截图不全。如果满足条件，则说5秒（图9）。
程序是5重循环，每个都是300次，a在最外层，运行了1次，就相当于运行了4重300次，就是300×300×300×300次，用了将近24小时，a要是运行300次，总时长则大约需要300天（图10）！
3.优化
必须要优化程序，缩小取值范围。优化原理和图5代码一致，最外层循环改为最小的e，最内层改为a（图11）。
运行间6个e大约3.5小时，但e越大，单次运行时间会越来越短，总运行时间大大缩短了（图12）。
但是毕竟时间复杂度太大，Scratch运行效率又太低，总时长还是太大，即使用优化程序测试结果，也需要两天左右的时间。
1.设计思路
在Python测试时，在电脑上运行速度还是很快的了，但在手机上运行，则更依赖于手机的配置，明显感觉运行得很慢很慢。
所以加上了直接验证的程序代码。
2.程序设计及说明
（1）变量和初始化
变量“枚舉验证”是使用枚举法还是验证数据的转换开关。
变量“分解列表”是在验证的时候，分解输入的数据，并放在列表中，以备程序调用。
初始化程序，一是初始化程序为枚举状态，二是提示先选择使用“枚举”还是“验证”（图13）。
（2）枚举
点击“枚举”按钮，输入相关数据。因为验证时不需要水平布局4，被程序隐藏，所以使用“枚举”时，必须让其显示出来（图14）。
（3）验证
点击“验证”即可验证数据是否正确。验证数据只需要连续输入数据，所以将水平布局4隐藏。并将标签1的文本做输入提示（图15）。
（4）提交
提交时先读取是验证状态，还是枚举状态。然后判断输入框是否为空，当不为空时，则执行程序（图16）。
验证状态：
先将输入框的数据分解成列表，再判断5组数据是否满足条件 （图17）。
如果满足，则显示五个对应的数据，并提示：验证正确，否则提示：验证错误（图18）。
这个运行速度很快。
枚举状态：
按照提示，先输入取值范围、初始值和结束值，然后点击提交即可。枚举APP界面如图19。
在75～80范围内，速度很快，但在75～300范围内，手机一直在运行过程中没有反馈，就像死机了一样，虽然我知道程序还在后台运行，但这个运行时间肯定会很久，所以就没有坚持下去的必要了。判断满足条件的5个值，代码如图20。
程序进行了优化，a的取值由b开始值到结束值，而b值由c到结束值，以此类推，d是取e到结束值，而e是从开始值到结束值。这样运行时间会减少很多，但由于运行速度和时间与手机配置直接相关，所以虽然运算量已经大大减少，还是很难去等一个结果（图21）。
如果满足条件，则显示五家的绳长和井深，否则提示在开始值到结束值范围内无解。
三种方法，经过测试，用Python运行最快，APPInventor最慢（使用优化程序仍然无结果输出），只是APPInventor更直观些。大家有兴趣，可以自行验证，本文不做赘述，这也是自己的学习心得，有不妥之处，请不吝赐教！
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