数学教学中对“元认知”的初步认识

钱芸

[摘  要] 文章通过“一元二次方程的解法——配方法”的教学，阐述如何对学生进行元认知训练，并通过问题串的方式让学生体会数学的本质. 元认知学习并不是一节课就能解决的，所以教师要在平时的教学中不断提升学生的数学思维.

[关键词] 元认知;数学科学素养;深度学习

元认知思想

要了解元认知的概念，首先应了解人的认知活动. 人的认知活动一般来说可以划分为认知活动和元认知活动. 认知活动是指对客观事物的特征及事物之间联系的反映，认知活动研究的是有关问题、资料等具体的信息，而元认知活动是人类对自己认知过程的一种自我觉察、自我评价、自我调节的过程. 元认知的概念比认知活动更高级，它是任何以认知过程与认知结果为对象的知识，或是任何调节认知过程的认知活动.

在数学教学过程中对“元认知”

的初步认识

（一）教学过程

本节课题为“一元二次方程的解法——配方法”，笔者的教学设计以及提问中都涉及了“元认知”.

1. 温故知新

师：方程（x+3）2=5的解是什么？

生（齐）：x=-3± .

师：你们解这个方程用的是什么方法？

生（齐）：直接开平方法.

师：用这种方法的依据是什么？

生1：两边开方.

生2：平方根的意义.

师：解一元二次方程的基本思路是什么？

【学生经过笔者的提示，回答出了答案：二次方程→一次方程. 教师补充：降次.】

教师小结：形如（x+h）2=k（k≥0）（方程的左边必须是完全平方式，方程的右边必须是一个非负常数）的一元二次方程可以用直接开平方法求解.

这既是对上一节课的复习，也是这节课的开端.

2. 思考讨论

师：如何解方程x2+6x+9=5？

学生通过复习，马上就想到了方程的左边是一个完全平方式，用直接开平方法很快速地就解决了.

师：如何解方程x2+6x+4=0？

生1：方程两边同时加上5……

师：如果把方程左边的“+4”变成“+3”，这个方程该如何解决？

生2：方程两边同时加上6……

师：方程左边的常数变化时，每一次方程左、右两边所加的数都要改变才能用直接开平方法吗？

生3：是的.

生4：只需要保证方程左边最终的常数项为9就行了.

师：请把你的解答过程叙述一遍，老师来书写.

师：上述解方程的第一步是什么？

生4：移项.

师：上述解方程的第二步为什么要加“9”？

生4：凑完全平方公式.

师：这个“9”是怎么凑出来的？

生4：根据完全平方公式a2+2ab+b2=（a+b）2来凑.

师：接下来用什么方法来解？

生（齐）：直接开平方法.

师：恭喜你们，你们学会了一种新的解一元二次方程的方法——配方法.

3. 引出新课题

师（叙述基本概念）：像上面那样，先把一个一元二次方程变形为（x+h）2=k的形式（其中h，k都是常数），若k≥0，再通过直接开平方法求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.

师：用配方法解一元二次方程的基本步骤是，第一步，变形为（x+h）2=k的形式（其中h，k都是常数）;第二步，用直接开平方法解方程.

师：第一步变形后，假如k<0怎么办？

生1：此方程无实数解.

师：你们认为用配方法解一元二次方程最大的难点是什么？

生2：凑完全平方式.

【接下来，笔者对配方进行了基础巩固. 首先復习了完全平方公式a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2=（a-b）2，然后通过填空的方式巩固完全平方公式. 具体的试题如下.】

填一填：

（1）x2+2x+____=（x+___）2;

（2）x2-8x+____=（x-___）2;

（3）y2+5y+____=（y+___）2;

（4）y2- y+____=（y-___）2.

师：等式右边所填的这个数和等式左边的一次项系数有何关系？

生3：所填的这个数是一次项系数的一半（由于已有符号，所以所填的数应该是一次项系数一半的绝对值）.

？摇师：等式的左边所填的这个数和等式右边所填的数又是什么关系？

生4：等式左边所填的这个数是等式右边所填数的平方.

师：这个过程就是配方的过程. 当二次项系数为1时才有这个规律. 当二次项已知且二次项系数为1，并且一次项已知时，进行配方时等号左边的常数项是一次项系数一半的平方.

4. 例题探究

用配方法解下列方程：

（1）x2-4x+3=0;

（2）x2+3x-1=0.

对于第（1）题，在板书的同时，教师小结了用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：

①移项，把常数项移到方程的右边;

②配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方;

③开方，根据平方根的意义，方程两边同时开平方，化为两个一元一次方程;

④求解，解这两个一元一次方程;

⑤定解：写出原方程的解.

对于第（2）题，学生口述，教师板书. 出现易错点时，教师及时纠正，并培养孩子清晰的数学语言表达能力.

【接下来，教师给出练习题，以让学生巩固所学. 】

用配方法解下列方程：

（1）x2-6x-7=0;

（2）x2+3x+1=0.

5. 拓展提升

用配方法解一元二次方程：2x2+x-6=0.

师：这个方程和前面的方程有什么不同？

生1：前面的方程容易配方一些.

师：那么，为什么这个方程不容易配方呢？

生1：因为前面的方程的二次项系数都是“1”.

师：那如何把这个方程的二次项系数变为“1”呢？

生2：方程两边同时除以2就可以了.

师：这样做的依据是什么？

生3：等式的基本性质.

师：很好！于是二次项系数不为“1”的一元二次方程，也可以用配方法求解了！

（二）教学反思与感想

整节课抓住了配方法的本质，渗透了降次和数形结合的数学思想. 这节课的提问非常符合这一阶段学生的思维方式，整节课学生都在不断地调整认识中逐步掌握知识，符合元认知训练的结构. 课堂上，笔者采用元认知的基本思路对学生进行细致的引导. 元认知的思路结构给学生搭好了思路的“梯子”，让他们在思维上面一步一步地往上爬，学生非常轻松地学会了一元二次方程的新解法——配方法. 师生之间的问答，循序渐进，能提升学生的元认知能力. 学生的书写思路清晰，实现了知识的迁移，且自主探究给予了他們一种强烈的成就感.

在这节课中，如果笔者直接提出新课题“配方法”，学生会产生疑惑，且会有畏难情绪，于是笔者将整节课设计为遵循元认知规律的一堂课，问题串就是架构元认知思维的扶梯. 在这节课中，元认知的体验是在不知不觉中进行的，元认知结构也较为完整. 当然，元认知的训练不能只用在一节课上，要普遍运用于平时的教学活动. 在笔者目前进行的数学教研活动中，理解概念、记忆定理、证明命题等活动都属于认知活动，而怎样更快地理解、记忆和掌握解题策略的一些选择、方法和对其结果的评价等则属于元认知活动. 数学元认知是我们对数学认知活动的认识、监控和总结，元认知结构则是以上三者的有机结合. 元认知知识是我们对自己、他人认知活动的过程、结果等事项的认识，主要依靠情境性知识、程序性知识、评价性知识、数学核心思想、数学思维模式和数学策略性知识等;元认知体验是伴随我们的认知活动所产生的自觉意识和情感体验;元认知监控是通过前面两者的相互作用，从而实现对认知的目标、方向、策略和进程的一种监督、调节和控制手段.

（三）数学核心素养与“元认知”的关系

数学核心素养与“元认知”有着密切且不可分割的联系. 数学核心素养是以数学课程教学活动为载体，基于数学学科的知识技能而形成的重要的思维品质和关键能力. 数学核心素养是在数学知识技能的学习过程中形成的，有助于学生深刻理解与掌握数学知识技能. 对于义务教育阶段的数学核心素养，东北师范大学教育科学学院马云鹏教授认为：“10个数学核心素养包括：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识. ”采用元认知训练可以大大提升培养这些能力的效率. 比如，让学生自己创设想象中的情境，在情境中体验数感;让学生通过记录并总结自己的学习进程和学习效果来进行自我监控和自我调节;对现有的模型进行反思性学习，总结不足并牢记经验;总结自己的学习活动规律，并结合自身记忆特点、遗忘特点等进行思维品质的提升. 我们要从实际教育教学出发，在平时的数学教学中渗透元认知训练，以实现学生核心素养的培育.

（四）深度学习与“元认知”的关系

要抓住数学的本质、内涵，学生必须进行深度学习. 深度学习具有批判思维、知识整合、深度加工、主动建构、迁移应用等特征，属于以高水平思维为核心特征的高阶学习. 因此可以认为，促进元认知发展是深度学习研究的主要目标之一. 元认知训练依托课堂，并结合课堂教学内容进行元认知知识讲授与元认知技能训练，通过对学生学习过程的观察，分析学生学习活动中的不足，并对教学过程及时进行调整，以促进学生对知识的主动建构、深度理解、批判接受、迁移应用及对复杂问题的有效解决，进而促进学生深度学习的实现. 问题解决是元认知训练和深度学习的共同最终目标，提升初中生数学深度学习能力必然会促进问题解决能力、数学元认知能力的纵深发展，从而提升学生的数学素养.

综上所述，元认知就是要努力激发学生内在的学习兴趣，让他们积极主动地投入学习，避免消极被动地接受，且应调动一切有利的因素进行分析、思考、解惑、排疑. 学生应思考学习本身的内涵、目的、方法、施控手段、检验指标、评价标准等，从而达到主动自学并提升学习效果的目的.

猜你喜欢元认知深度学习基于深度学习的大学英语混合学习模式的构建与应用教育教学论坛(2020年47期)2020-12-23当深度学习遇到低年级数学数学大世界·下旬刊(2020年10期)2020-12-23深度学习视域下数学学材功能的分析中学数学杂志(高中版)(2020年5期)2020-12-14小学语文深度学习课堂构建探析学习周报·教与学(2020年46期)2020-12-07小学数学课堂深度学习的现状与优化策略小学时代·上旬刊(2020年3期)2020-04-26音乐教学元认知在我国的研究现状北方音乐(2018年3期)2018-05-14对中学生的元认知监控及其与学业成绩的相关研究内蒙古教育·科研版(2009年12期)2009-12-23 相关热词搜索：