土本构关系——读书报告（完整）

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　邓肯-张模型的发展与特点 目前描述土的应力——应变关系的数学模型有很多种， 包括弹性和弹塑性两大类。

　非线性弹性模型中， 邓肯—张(Duncan—Chang)模型应用最为广泛的， 它包括邓肯—张 E-μ 模型和修正后的邓肯 E- B 模型， 即 Duncan 等提出的体积模量代替弹性模量的模型。

　1、 邓肯—张 E-μ 模型 1.1 双曲线应力应变关系 邓肯—张 E-μ 模型是邓肯等人根据大量一般土的三轴试验13() ~a曲线关系而拟合出的一种应力应变关系的双曲线模型， 是一种目前广泛应用的增量弹性模型。

　它能反映岩土体变形的非线性特征， 也可以体现应力历史对变形的影响。

　13aaab

　（1）

　式中， a、 b 为试验常数。

　在常规三轴压缩试验中，1a ，13aaab可以写成下式：

　1113ab

　 （2）

　将常规三轴压缩试验的结果进行整理可以得到1113~的关系式如下式所示：

　1113ab

　 （3）

　由上式可以看出：1113~二者近似成线性关系（见图 1）， 将实测的113和1绘制在同一坐标下即可得到两个实验常数 a、 b：

　a 为直线的截距， b 为直线的斜率。

　ε1/(σ 1-σ 3)1b=1/(σ 1-σ 3) ult　a=1/Ei

　图 1

　1113~线性关系图 1.2 初始模量 Ei 在试验的起始点， 即当应变很小时， 由式(1)可得初始模量 Ei为：

　1iEa

　（4）

　即 a 为初始弹性模量的倒数。

　而当1  时， 由式(1)可得到应力的极限值——右侧限抗压强度为：

　131()ultb

　 （5）

　由此可以看出 b 代表的是双曲线的渐近线所对应的极限偏差应力13()ult的倒数。在土的试样中， 如果应力应变曲线近似于双曲线关系， 则往往是根据一定的应变值（如115% ）

　来确定土的强度13()f， 而不可能在试验中使1 无限大， 求取13()ult；对于有峰值点的情况， 取1313()()f峰， 这样1313()()fult。

　定义破坏比 Rf为：

　1313()()ffRult

　（6）

　或 13131()()ffRbult

　（7）

　一般 Rf在 0.75~1.0 之间， 并认为 Rf与侧限压力 σ3无关， 但从实验结果来看， 并非常数， 它随而变， 因此式(1)又可写成：

　1131131EfifR

　 （8）

　或 13113131iffER

　（9）

　随着 σ3值的不同， 初始模量 Ei也将不同。

　1963 年， 简布(Janbu)通过试验研究， 绘制lg(/)iaE P 与3lg(/)aP的关系图， 发现二者近似呈直线关系， 得出土的初始模量都是侧限压力的指数函数， 并可用如下经验公式表示：

　3()niaaEKPP

　（10）

　式中，aP 为大气压（aP ＝101.4kaP ）； K、 n 为试验常数， 是决定于土质的试验常数， 分别代表lg(/)iaE P 与3lg(/)aP直线的截距和斜率， 对于不同的土， K 值可能小于 100， 也可能大于 3500； n 值一般在 0.2~1.0 之间。

　1.3 切线模量 Et 在常规三轴压缩试验中， 由于230dd， 所以切线模量为：

　13211()()tdaEdab

　 （11）

　将式（1）

　与式（4）

　代入上式可以得到：

　2113111E()tfiiERE

　（12）

　该式表示为应变1 的函数， 使用时不方便， 可将tE 表示为应力的函数形式， 即将式（9）代入上式可得：

　2[1]tfiER S E

　（13）

　式中，

　 1313fS

　（14）

　根据莫尔－库仑强度准则有：

　3132 cosc2sin()1 sinf

　（15）

　将式（10）、（15）

　代入式（14）、（13）

　中整理即得土体的非线性模型为：

　21333()(1sin )()12 cosc2sinfntaaREKPP

　 (16) 由上式可见， 切线变形模量中包括 5 个材料常数 K、 n、  、 c、fR 。

　对于卸荷和重复加荷时， 弹性模量值为 Eur ：

　3nururaaEK PP

　(17)

　式中， Kur值也应通过实验测定， 一般情况下urKK。

　1.4 泊松比 对于该模型， 泊松比 的一些经验公式都不可靠。

　Duncan 等人假定在常规三轴压缩试验中轴向应变1 与侧向应变3之间也存在双曲线关系：

　 313fD

　(18) 或者

　 3331fDfD

　 (19) 其中，

　f 与 D 为实验常量。

　由试验得到的31与3的关系可近似为直线关系， 从而确定截距 f 与斜率 D。

　从上式可见， 当30时，

　3310if

　 （20）

　式中，i 为初始泊松比， 见图 2(a)； D 为13~关系渐近线的倒数， 见图 2 (b)； 试验表明土的切线泊松比i 是与试验的有限侧压强度3 有关的。

　它们在单对数坐标中， 可假设是一条直线, 见图 2 (c)：

　3G-FlgPaiv

　 (21) 式中， G、 F 为试验常数 G 为限制压强一个大气压时的值， F 为曲线斜率， 其确定见图 2 (c)。

　图2 (a) ~ (c) 将(18)式微分得到正切泊松比t ：

　11322111111itDfDfdVvdDD

　 (22) 将1 表达式代入式（22）， 则得到：

　32131333lg11sin12 cosc2sintnfaaGFPavDRKPP  

　（23）

　在泊松比的式中有 G、 F、 D 共 3 个材料常数， 加上tE

　式中 5 个常数， 共有 8 个常数。在弹性理论中， 00.5tv， 如果计算所得t 大于 0.5， 则可采用0.49t 计算。

　2、 邓肯-张 E-B 模型 试验表明， 在上述邓肯-张 E模型中，1 与3 间的双曲线假设与实际情况相差较多；而且使用切线泊松比t 计算也存在一些问题。

　1980 年邓肯等人提出了 E－B 模型， 即改用体变模量 B 代替泊松比t 作为计算参数：

　 3 12EBv

　 (24) B 可用以下公式求解：

　 3mbaaBK PP

　 (25) 式中，bK

　和m 为实验常数， 分别为lgaB P与3lgaP直线关系的截距和斜率。

　多数土的m值在0~0.1之间， m值小于0， 表示随着围压3 增大， 体积模量减小的情况。

　这种超乎寻常的情况， 是由于高压力作用下， 土颗粒结构破坏所致。

　计算B时， 通常取13130.7f时的体应变计算。

　随着3 改变， B 值有10倍左右的变化。

　当0.49t 时， B 值可以出现较高的值，17tBE； 而当1~26ttEB 时， 可达3tEB 。

　对于tE 和卸荷及重复加荷时的弹性模量值为Eur的确定， 和 E模型一样。

　3、 对邓肯—张模型的评价 3.1 模型的优点

　（1）

　该模型体现了材料的非线性特点， 考虑了应力历史对变形的影响， 能比较好地模拟土的实际力学性质；

　（2）

　采用的双曲线模型较简单， 所包含的参数较少， 且所需的模型参数都可以利用常规三轴剪切试验确定。

　3.2 模型的缺点 （1）

　该模型是在轴向应力增加， 而侧向应力不变的情况下获得的； 但在实际中， 土体经历的应力路径并不都是轴向压缩， 还可能是其它的应力路径（侧向卸载、 侧向加载、 轴向卸载、 轴向加载）

　， 这就造成该模型不能很好的反映应力途径问题；

　（2）

　该模型没有考虑土的剪胀性和应变软化问题， 且在 E模型中测定土的变形模量 E 和泊松比 受试验方法等因素的影响较大， 而实际应用中恰当的模量和泊松比的选定又比较困难，13~ 关系用双曲线拟合确定泊松比存在较大误差；

　 （3）

　该双曲线模型不能反映2 的影响， 在实验中考虑的仅是主应力差13对模型的影响。

　3.3 模型的适用性 该模型适用于粘性土， 砂土； 但不宜用于密砂， 严重超固结土中。

　由于该模型是非线性弹性模型， 一般仅适用于荷载不太大的条件下。

　此模型是应用单一剪切试验结果进行全部应力应变分析， 且一切公式都是根据3 为常量的结果推算所得， 因此它适用于以土体的稳定性分析为主， 而且3 接近常量的土体工程问题。

　参考文献 [1] 郑颖人,孔亮. 岩土塑性力学[M]. 北京: 中国建筑工业出版社, 2010. [2] 罗汀,姚仰平. 土的本构关系[M]. 北京: 人民交通出版社, 2110. [3] 李广信.高等土力学[M]. 北京: 清华大学出版社,2004.. [4] 罗 刚 , 张 建 民 . 邓 肯 - 张 模 型 和 沈 珠 江 双 屈 服 面 模 型 的 改 进 [J]. 岩 土 力学,2004,25(6):887-890. [5] 姜亭亭,高志军,王运霞.邓肯—张模型研究现状和在工程中的应用讨论[J].西部探矿工程,2009(6):9-11