摘 要：三重积分是高等数学的重要内容和难点内容，为了提高三重积分网络直播课堂的教学效果，我们极力提倡和推崇探究式教学。我们认为教师应该重视三重积分的教学，不断提高对三重积分网络直播课堂探究式教学的认识，熟练掌握提高三重积分网络直播课堂探究式教学效果的策略。
关键词：三重积分;探究式教学;网络直播课堂;策略
On the Inquiry Teaching of Triple Integral in Webcast Classroom
Deng Yihua
Mathematics and Statistics in Hengyang normal university HunanHengyang 421002
Abstract：Triple integral is an important and difficult content in higher mathematics.In order to improve the teaching effect of triple integral，we try our best to advocate and respect the inquiry teaching.In our opinion，teachers need to pay attention to the teaching of triple integral，improve the recognizant errors in the inquiry teaching of triple integral in webcast classroom，and master the strategy of improving the teaching effect of triple integral in webcast classroom.
Keywords：Triple integral;inquiry teaching;webcast classroom;strategy
網络直播课堂是传统课堂的延伸和拓展，这一方面为学生的居家学习和教师的远程教学与辅导提供了有效的帮助，另一方面也面临着一些需要我们解决的新问题，所以我们需要对网络直播课堂引起足够的重视。我们不仅要认真地学习和总结网络直播课堂中的成功经验，也要随时留意网络直播课堂中可能出现的一些问题，并及时加以研究和分析，找到切实可行的解决办法。
三重积分是高等数学的重要内容和难点内容，高等数学是许多理工科专业和部分文科专业的基础理论课程，所以这门课程涉及面广，对学生今后专业课的学习以及职业生涯的发展至关重要。因此，教师应该重视三重积分的教学，进一步提高对三重积分网络直播课堂探究式教学的认识，熟练掌握提高三重积分探究式教学效果的策略。本文将从以上三个方面分析三重积分网络直播课堂的探究式教学，以期能够有效地提高三重积分的教学效果和人才培养的质量。
1 教师应该重视三重积分的教学
三重积分是高等数学的重要内容和难点内容，也是很多理工科专业的学生必须掌握的重点内容，学好三重积分对学生今后专业课的学习以及职业生涯的发展非常有帮助。三重积分既要用到立体解析几何的知识，也要用到定积分和二重积分的知识，所以三重积分的综合性比较强。尽管三重积分的难度比较大、计算比较复杂，但是有利于学生进一步深化对定积分和二重积分的理解，有利于巩固立体解析几何中所学到的知识，有利于使学生认识各种积分之间的相互关系以及立体解析几何的重要性，对后面曲线积分和曲面积分的学习也有很大的帮助。斯托克斯公式告诉我们空间曲线积分可以转化为曲面积分，高斯公式告诉我们曲面积分又可以转化为三重积分，而三重积分的计算通常需要转化为定积分和二重积分，在转化的过程中又离不开积分区域的图形，所以三重积分有利于培养学生的综合能力、计算能力、空间想象力、数形结合的能力以及辩证思维能力和抽象思维能力与逆向思维能力。
每一个三重积分的计算都有好几种不同的方法，所以三重积分有利于培养学生一题多解的能力，有利于培养学生思维的发散性和批判性，有利于开阔学生的视野。运用三重积分不仅可以求空间立体的体积和质量，也可以求空间立体的重心和转动惯量以及空间立体之间的引力等，所以三重积分具有较好的应用背景，在物理和工程领域中具有重要的应用。利用三重积分的教学，不仅可以将理论和实际有机结合起来，而且可以有效提高高等数学和人才培养的质量，所以教师应该重视三重积分的教学。
2 教师需要提高对三重积分网络直播课堂探究式教学的认识
由于三重积分难度大，所以我们在三重积分网络直播课堂的探究式教学中需要讲究方法，否则很难获得良好的教学效果，甚至费力而不讨好。我们认为三重积分网络直播课堂的探究式教学难以开展的原因主要是部分学生基础较差，所以不能按时完成教师安排的探究任务，三重积分的计算和推导过程复杂使得教师不便于演示和板书，学生比较分散从而教师难以有效地监管学生。尽管会面临不少的困难，但是我们不能因此放弃三重积分网络直播课堂的探究式教学，而应该加强对三重积分网络直播课堂的探究式教学，不断提高对三重积分网络直播课堂探究式教学的认识。
首先，探究式教学的一大功能就是帮助教师突破教学的难点，只要教师结合学生的实际情况，认真地选择合适的探究内容，积极地营造良好的探究情景，科学地引导学生进行探究，是完全可以激发学生的探究欲望和积极性的。只要学生能够充分地发挥自己的主体能动性，积极进行探索完全可以迎难而上，按时完成探究任务，我们要相信学生的智慧和潜力。有些学生敢于挑战自我和超越自我，越是困难越有向前冲的动力。其次，教师可以把难度大的内容进行有效的分块，由易到难让学生一个模块一个模块地进行探究和解决问题，这样就可以化难为易、化繁为简，然后综合起来整个问题就迎刃而解了。比如，在三重积分定义的探究式教学中，一个难点是让学生理解定义的来龙去脉。为此，教师可以先简明扼要地回顾一下求平面薄片质量的方法与步骤，然后以此为切入点，通过提问设疑等方式激发学生去探究如何求空间立体的质量。这时，教师可以把该内容分成如下几个模块依次让学生进行探究：①探究如何把密度变化的问题转化为密度近似不变的问题，并且运用自己的语言准确地写出转化的过程与方法;②探究如何准确地写出求质量近似值的数学式子;③探究如何得到求质量准确值的式子。在此探究的基础上，教师进一步归纳总结出三重积分的定义。由于学生已经有了前面求平面薄片质量的方法，加上教师对探究内容的合理分解以及适当地引导与点拨，我们相信学生肯定会积极探讨的，也是完全能够在规定的时间内完成探究任务的。
在探究的过程中，由于学生亲自动手和动脑，切身体验到了问题的发现与解决的过程，所以学生不仅能够产生快乐感和成就感，而且能够深刻地认识和掌握探究问题的方法与技巧，学生的思维能力和解决问题的能力也能得到有效的提高和升华。有一句俗话说得很好，要想学会游泳就必須要亲自下河。如果教师只是满堂灌地进行讲解，尽管口若悬河、滔滔不绝，但是并不能取得好的教学效果，也不能有效地立德和树人。当然探究式教学也离不开教师的讲解，教师对学生探究的过程要进行有效的点评，对探究的结果要进行归纳和总结。只有把学生的探究与教师的引导和讲解有机结合起来，课堂气氛才会变得活跃，学生的思维和注意力才会集中，学生分析和解决问题的能力才会提高，教学效果才会令人满意，教师才真正做到了事半功倍。
正是因为三重积分计算和推导的过程不便于演示和板书，所以三重积分才需要进行探究式教学。理由是探究式教学可以把部分的计算和推导过程让学生自己去完成，教师只要好好地进行组织和引导与点评就可以，这样不仅节省了不少的演算和板书的时间，而且有效地提高了学生的思维能力和书写的能力。如果教师能充分地了解学生计算和书写中的不妥之处，并及时地加以纠正，学生的印象可能会更深刻、更长久。如果教师能及时地表扬学生推导与书写过程中的闪光点，学生应该能够产生快乐感和成就感，学生的自信心和主动性也会加强。
正是因为在网络直播课堂中学生比较分散，教师不能面对面地监管学生，所以我们更需要进行探究式教学，探究式教学能有效培养学生学习的自主性和自觉性，只要学生的自觉性提高了，教师就不需要时刻监管学生，否则监管也起不到很大作用，因为强迫学生学习也没有什么效果。对于一些自觉性难以提高的学生，教师可以经常将视频切换到这些学生的页面，一旦发现这些学生有不当行为，教师要及时加以批评和教育。另外，教师也可以要求这些学生在规定的时间内完成规定的探究任务，并及时通过网络上交给老师作为对学生平时考评的依据。如果教师不进行探究式教学，只是滔滔不绝地进行讲解，完全不顾学生的感受，学生就会感到索然无味，从而对教师产生反感，这时教师就更难监管学生了，即使面对面也是如此。如果教师能在网络直播课堂上进行探究式教学，通过营造良好的问题情景，就可以激发学生学习和探究的欲望与自觉性，学生能自觉进行探究。所以，教师要重视用探究式教学培养学生的自主性和自觉性，这是教师的神圣职责，也是立德树人的基本要求。
3 提高三重积分网络直播课堂探究式教学效果的策略
由于三重积分的难度比较大、计算比较复杂，所以要提高三重积分的教学效果并不是一件容易的事情。在本节，我们重点分析提高三重积分网络直播课堂探究式教学效果的策略。
（1）认真备课，准备好上课的课件和辅助资料，选择好的网络直播平台。通过认真备课，教师才能熟悉三重积分的教学内容，才能理清各个知识点之间的相互关系，才能明确探究的任务与目的以及探究的方式，才能有效地选择和确定好的探究内容，才能对学生在探究过程中可能出现的问题提前做好预判，才能做到心中有底。好的探究内容往往是贴近学生的专业实际和生活实际的内容，也是学生力所能及的内容，是有利于提高人才培养质量的内容，是能够激发学生学习兴趣和探究欲望的内容，所以教师要注意按照这些方面的标准进行收集和筛选探究的内容。另外，教师还要提前做好上课用的PPT课件，准备好其他一些辅助教学资料，比如画积分区域的动画、写有演算过程的草稿纸的照片、准备为学生解难答疑的草稿纸等。耐心细致，准备充分，才能做到有备无患，才能有效提高探究式教学的效果。另外，教师还要注意选择好的网络直播平台，现在有很多网络直播平台，这些平台各有优劣，所以教师要认真地进行选择。好的网络平台不仅界面友好、操作方便而且稳定性强、传送速度快，能够及时有效地拦截各种干扰教学秩序的画面，能够快速地实现师生之间的交流与互动，教师对学生的监控也比较方便。选择这样的网络直播平台，不仅能够营造良好的生态课堂，而且能够帮助教师有效地开展探究式教学，并提高探究式教学的效果。
（2）运用理论联系实际和一题多解提高学生探究的积极性。有兴趣才有积极性和自觉性，一般来说，学生对纯粹的理论并没有太大的学习兴趣，如果把理论与实际有机结合起来，学生的学习兴趣就会陡然增加。在三重积分网络直播课堂的探究式教学中，教师可以选择求物体的质量和体积、求物体的重心和转动惯量这些学生比较感兴趣又比较熟悉的实际问题，激发学生的学习兴趣和探究问题的积极性，这样是完全能够有效地提高三重积分探究式教学的效果。
在三重积分的计算中，同一个题目往往有多种求解的方法，因此教师可以运用一题多解的方法提高探究式教学的效果。比如，积分的区域是球或者球的一部分时，教师可以先示范一下用球面坐标来计算三重积分，然后引导和激发学生探究其他的求解方法。在探究的过程当中，学生当中可能会出现穿线法、截面法、柱面坐标法等求解的方法。在学生完成探究任务以后，教师应该要对这些方法的优劣进行比较和评价，并归纳出各种方法的适用范围和需要注意的一些问题。有比较才有鉴别，有归纳总结才有提升。
一题多解往往能够激发学生挑战自我、超越自我甚至挑战权威、超越权威的热情，能够培养学生的计算能力和发散性思维与批判性思维，能够有效地开阔学生的视野，能够提高学生的学习兴趣，所以一题多解能够有效提高三重积分的探究式教学效果。
（3）教师进行精准的点评和归纳与总结。在网络直播课堂的探究式教学中，教师的精准点评和归纳与总结非常重要。一方面，教师的精准点评可以使学生及时发现和纠正探究过程中存在的不足之处，能够帮助学生发现自己的优势以及自己和别人之间的差距，能够加深学生对知识和方法的理解，能够使学生记忆犹新，不断进步。教师对学生的闪光之处进行表扬，能够触动学生的兴奋点，使学生产生快乐感和成就感，使学生产生积极向上的学习欲望，从而能够增强学生学习的动力和自信心与自觉性，提高学生学习的效率。另一方面，教师的归纳和总结能够使零碎的知识和方法条理化、系统化、规律化、理论化，通过教师的示范和学生的潜移默化，可以有效地提高学生抽象思维能力和归纳与总结能力。在三重积分的网络直播课堂中，教师要善于归纳和总结三重积分概念的内涵与外延、三重积分的计算方法与步骤和技巧，认真比较各方法的优劣，及时总结各方法的适用范围以及需要注意的一些问题，重视三重积分的实际运用以及三重积分中画积分区域的方法，这样可以有效提高探究式教学的效果。
在三重积分的网络直播课堂中，探究式教学能够帮助学生深入地认识和理解三重积分的概念，牢固地掌握三重积分的计算方法，有效地运用三重积分解决实际问题，也能够有效地提高三重积分的教学效果以及人才培养的质量，所以我们极力倡导和推崇探究式教学。
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项目：湖南省普通高等學校教学改革研究项目资助（HNJG20200685）
作者简介：邓义华（1971— ），男，湖南郴州人，硕士，衡阳师范学院教授，现从事数学及其教学研究。
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