高阶shifted调和数的有限求和

闫庆伦 王照芬 米娟

摘要：在本文中，我们利用部分分式法等方法研究了一组关于Euler型求和的组合恒等式，计算了有关高阶shifted调和数与二项式系数的倒数的乘积的有限求和形式.通过对参数取特殊值，可以得到许多有意义的恒等式.

关键词：调和数;二项式系数;部分分式法

中图分类号：O157文献标志码：ADOI：10.3969/j.issn.l000-5641.2021.06.003

Finite sums in higher order powers of shifted-harmonic numbers

YAN Qinglun，WANG Zhaofen，MI Juan

（College of Science^ Nanjing University of Posts and Telecommunications. Nanjing 210023. China）

Abstract：In this article，using methods such as the partial fraction method，we study a set of combined identities for an Euler-type summation. We calculate，furthermore，the finite summation form of the product of the high order shifted-harmonic number and the reciprocal of the binomial coefficient. By using special values for the parameters，interesting identities can be obtained.

Keywords：harmonic numbers;binomial coefficient;the partial fraction method

0引言

令、、分别表示实数集、复数集和正整数集.经典调和级数定义如下：

或者，

其中γ是Euler-Mascheroni常数，ψ（z）是Psi（或者Digamma）函数.

广义调和级数的定义为：

在广义调和级数的下标为非整数值的情况下，例如，可以根據Polygamma函数[1]定义广义调和级数，其中Polygamma函数的定义为：

其中ζ（z）是Riemann Zeta函数.在上式中，当m=0时，我们将定义为：

下面是一些关于此类调和级数的具体例子.

其中G=0.915965…是Catalan常数.

本文将讨论高阶shifted调和数与二项式系数倒数乘积的有限项求和，其形式如下：

与这种Euler型无穷级数类似的级数许多学者已研究过，如Sofo[2]得到了下列恒等式：

Sofo[3]还得到了如下经典的Euler求和：

有关高阶调和数的有限求和形式也已经被多次研究.如在2005年，Weideman[4]猜测了如下形式的调和数恒等式：

这个式子曾经被认为是最难证明的，后来由Driver等[6]利用计算机给出了证明.最近，Sofo[6-7]又得到了许多有关Euler型有限项求和的恒等式，如

关于调和数更多的计算与结论，请参考文献[8-10].

下面给出的引理在文中主要定理的证明过程中起着非常重要的作用.

1引理

引理1[8]令r是一个正整数，p∈N，则下列等式成立：

注当p=1时，，其中[x]是不超过实数x的最大整数.

下面，我们将用上述引理和部分分式法等来证明主要定理.

2主要定理及特例

定理1令m，k∈N，，则下列恒等式成立：

证明为了方便计算，我们引入如下变换：

那么

根据二项式系数的定义，并利用部分分式法，不难得到

其中

则

注意到，对于任意双序列{X}，有下列恒等关系成立：.于是，我们有

结合式（2.2），式（2.1）右边的第二项求和式可进行如下计算：

将上面两部分计算结果代入式（2.1），整理后即得定理1.

在定理1的假设下，当q=±1时，我们得到了如下两个重要推论.

推论1令，则有

证明首先考虑q=1的情况.

其中

根据部分分式法：

有

将上面的式子以及式（2.4）代入式（2.3）中，整理得到推论1中的第一个恒等式.

接下来考虑q=-1的情况.

根据部分分式法，有

应用上面的式（2.7）与式（2.8），得到

将式（2.4）和式（2.9）代入式（2.6），得到推论1中的第二个恒等式.

同理，参照定理1和推论1的证明，我们可以得到定理2和推论2.

定理2令，，理则下列恒等式成立：

注当m=1或2时，Sofo[9-10]计算过类似的结果，不过等号右边的表现形式略有不同.

推论2令，那么有

在上述定理和推论中将参数取特殊值，可以得到许多有意思的恒等式.

例1在定理1中令q=4，m=1，k=2，得到

例2在定理1中令q=±4，m=3，k=2，则有

例3在推论1中令m=2，k=3，得到

例4在定理2中，令m=3，q=-4，k=2，则有下列式子成立：

例5在推论2中，令m=2，k=2，则有

[参考文献]

[1]SRIVASTAVA H M，CHOI J. Zeta and q-Zeta Functions and Associated Series and Integrals [M]. Amsterdam：Elsevier Science Publishers，2012.

[2]SOFO A. Quadratic alternating harmonic number sums [J]. Journal of Number Theory，2015，154：144-159.

[3]SOFO A. Harmonic sums and integral representations [J]. Journal of Applied Analysis，2010，16：265-277.

[4]WEIDEMAN JAC. Pade approximations to the logarithm I：Derivation via differential equations [J]. Quaestiones Mathematicae，2005，28（3）：375-390.

[5]DRIVER K，PRODINGER H，SCHNEIDER C，et al. Padéapproximations to the logarithm II：Identities，recurrences，and symbolic computation [J]. Ramanujan Journal，2006，11（2）：139-158.

[6]SOFO A. Identities for alternating inverse squared binomial and harmonic number sums [J]. Mediterranean Journal of Mathematics，2016，13（4）：1407-1418.

[7]SOFOA.Finite sums in higher order powers of harmonic numbers [J]. Bull Math Anal Appi，2013（5）：71-79.

[8]XU C.Explicit evaluation of harmonic sums [J]. Communications of the Korean Mathematical Society，2017，33（1）：13-36.

[9]SOFOA，SRIVASTAVA H A I. A family of shifted harmonic sums [J]. Ramanujan Journal，2015，37（1）：89-108.

[10]SOFOA.Shifted harmonic sums of order two [J]. Communications of the Korean Mathematical Society，2014，29（2）：239-255.

（責任编辑：林磊）